Форум сайта Школьная физика www.alsak.ru

453. Нагретую железную болванку поставили на лед, имеющий температуру t₁ = 0 °С. В результате охлаждения болванки до 0 °С под ней расплавилось m₁ = 460 г льда. Какова была температура нагретой болванки, если ее масса m₂ = 3,3 кг? Удельная теплоемкость железа c = 460 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (лед при температуре t₁ = 0 ºС и железной болванки при температуре t₂). Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:


где Q₂ = c⋅m₂⋅(t₁ – t₂) –количество теплоты, которое отдает железная болванка (Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло).
Лед взят при температуре плавления t₁ = 0 ºС и конечная температура равна 0 °С, поэтому лед будет только плавится и Q₁ = m₁⋅λ. Тогда
\[ m_{1} \cdot \lambda + c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{1} -t_{2} \right) = 0, \;\;\; t_{2} =\frac{m_{1} \cdot \lambda }{c\cdot m_{2} } +t_{1}, \]
t₂ = 100 °C.

463. Найти массу льда, имеющего температуру t = –10 °С, который можно растопить за τ = 10 мин с помощью электрического нагревателя, работающего при токе силой I = 3 А от сети с напряжением U = 220 В? КПД нагревателя η = 80%. Удельная теплоемкость льда с = 2,1⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Лед взят при температуре t = –10 °С, плавится он при температуре t₀ = 0 °С, поэтому его вначале нужно нагреть, а затем только он будет плавиться. При этом понадобится количество теплоты, равное


где Q₁ = c⋅m⋅(t₀ – t), Q₂ = m⋅λ.
Эту энергию лед получит от электрического нагревателя, работа которого равна


КПД нагревателя
 
\[ \eta =\frac{A_{n} }{A_{3}}, \]
где η = 0,80, A_n = Q — полезная работа, A₃ = A — затраченная работа. С учетом уравнений (1) и (2) получаем:
 
\[ \eta =\frac{m\cdot \left(c\cdot \left(t_{0} -t\right)+\lambda \right)}{U\cdot I\cdot \tau }, \; \; \; m=\; \frac{\eta \cdot U\cdot I\cdot \tau }{c\cdot \left(t_{0} -t\right)+\lambda }, \]

m = 0,9 кг.
Примечание. В условию нужно добавить: «Температура плавления льда равна 0 °С».

452. В сосуд, содержащий m₁ = 2,35 кг воды при температуре Τ₁ = 293 К, опускают кусок олова, нагретого до температуры Т₂ = 503 К. Температура воды в сосуде повысилась на ΔT = 15 К. Вычислить массу олова. Испарением воды пренебречь. Удельная теплоемкость воды c₁ = 4,19 ⋅10³ Дж/(кг⋅К), олова c₂ = 2,5⋅10² Дж/(кг⋅К).

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре T₁ и олово при температуре T₂). При этом вода нагревается и получает количество теплоты Q₁ равное (испарением воды пренебречь):


где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло.
Так как температура плавления олова T_пл = 505 К, и T₂ < T_пл, то олово находится в твердом состоянии. Олово охлаждает и отдает количество теплоты Q₂ равное:


где Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло, m₂ — масса олова, T₃ = T₁ + ΔT — конечная температура олова.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:


Тогда
\[ m_{2} =-\frac{c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta T}{c_{2} \cdot \left(T_{3} -T_{2} \right)} =\frac{c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta T}{c_{2} \cdot \left(T_{2} -T_{1} -\Delta T\right)}, \]
m₂ = 3 кг.
Примечание. В условие надо добавить температуру плавления олова.

455. В калориметр налито m₁ = 2,0 кг воды при температуре t₁ = 6,0 °С и положен кусок льда массой m₂ = 2,0 кг, температура которого t₂ = –20 °С. Каково будет содержимое калориметра после установления теплового равновесия? Теплоемкостью калориметра и теплообменом с внешней средой пренебречь. Удельная теплоемкость воды с₁ = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), льда с₂ = 2,1⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре t₁ и лед при температуре t₂). В задаче неизвестна конечная температура смеси, поэтому мы не можем сразу определить все фазовые переходы. Можем только утверждать, что вода будет охлаждаться, а лед нагреваться.
Определим, сколько максимально энергии Q_1max может выделится при охлаждении воды от температуры t₁ до t₀ = 0 °С (температуры замерзания воды) (Q_1max < 0, т.к. тело отдает тепло), и сколько максимально энергии Q_2max необходимо для нагревания льда от температуры t₂ до t₀ = 0 °С (температуры плавления льда):


Q_1max = –5,03⋅10⁴ Дж, Q_2max = 8,40⋅10⁴ Дж.
Так как |Q_1max| < Q_2max, то энергии, которая выделится при охлаждении воды не хватает, для того, чтобы нагреть лед до температуры плавления t₀. Следовательно, вода охладиться до температуры t₀ и начнет замерзать.

Определим, достаточно ли энергии выделит вода при полном замерзании (кристаллизации) Q_3max, чтобы нагреть лед до температуры t₀.


Q_3max = –6,6⋅10⁵ Дж, Q_1max + Q_3max = -7,10⋅10⁵ Дж.
Так как |Q_1max + Q_3max| > Q_2max, то энергии, которая выделится при охлаждении и замерзании воды, достаточно, чтобы нагреть лед до температуры t₀. Следовательно, температура смеси будет равна t₀ = 0 °С.
В итоге получаем, что вода будет охлаждаться до температуры t₀ и часть ее (массой m₃) замерзнет. При этом вода выделит количество теплоты Q₁ равное:


Лед будет только нагреваться до температуры t₀ и получит количество теплоты Q₂ равное:


Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

\[ m_{3} =\frac{c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(t_{0} -t_{2} \right)+c_{1} \cdot m_{1} \cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)}{\lambda }, \]
m₃ = 0,10 кг.
В калориметре будет вода массой
m₁ – m₃ = 1,9 кг,
И лед, массой
m₂ + m₃ = 2,1 кг.
Примечание. В условие надо добавить температуру плавления льда.

457. В калориметр, в котором находится вода массой m₁ при температуре T₁, вливают расплавленный металл, масса которого m₂, а температура равна температуре плавления Т_n. При этом температура воды в калориметре повышается до T₂, а часть воды выкипает. Определить массу выкипевшей воды. Удельная теплоемкость воды с₁, удельная теплоемкость металла c₂, удельная теплота плавления металла λ, удельная теплота парообразования воды r, температура кипения воды Т_k.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре T₁ и олово при температуре Т_n). При этом вода нагревается до температуры T₂, а часть воды (массой m₃) нагревается еще от температуры T₂ до температуры кипения Т_k и выкипает (см. примечание). Вся вода получает количество теплоты Q₁ равное (испарением воды пренебречь):


где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло.
Так как расплавленный металл находится при температуре плавления T_n, то он начнет кристаллизоваться и охлаждаться. При этом металл отдает количество теплоты Q₂ равное:


где Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Тогда
\[ m_{3} = \frac{m_{2} \cdot \lambda +c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(T_{n} -T_{2} \right)-c_{1} \cdot m_{1} \cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)}{c_{1} \cdot \left(T_{k} -T_{2} \right)+r}. \]
Примечание. Можно рассмотреть такие процессы: часть воды (массой m₃) нагревается от температуры T₁ до температуры кипения Т_k и выкипает, а остальная часть воды (массой m₁ – m₃) нагревается от температуры T₁ до температуры T₂. После приведения подобных получим тот же результат.